Esta expresión también se puede encontrar tambiéncomo "decir (algo) con la boca chica". El adjetivo "chico/a" significa "pequeño/a" en este caso.
Esta expresión no tiene un origen determinado pero es bastante gráfica. Si una persona no quiere decir algo porque realmente no lo siente o no lo piensa, lo dirá sin pronunciar bien, sin abrir bien la boca para que no se le entienda bien ya que realmente no tiene la intención de hacer lo que dices.